Bernard Bolzano

    Bolzano nació el 5 de octubre de 1781 en Praga (Reino de Bohemia), y falleció el 18 de diciembre de 1848, también en Praga. Bolzano fue un matemático, lógico, filósofo y teólogo que realizó importantes contribuciones a las Matemáticas. Se le conoce por el Teorema de Bolzano y por esbozar el Teorema de Bolzano-Weierstrass. En su filosofía, Bolzano criticó el idealismo de Hegel y Kant afirmando que los números, las ideas y las verdades existen de independientemente a las personas que los piensen.

    Biografía
    El padre de Bolzano fue un italiano que se mudó a Praga, donde se casó con Maria Maurer. Solo dos de los doce hijos que tuvo la pareja llegaron a la edad adulta.
    En 1796, Bolzano se inscribió en la Facultad de Filosofía de la Universidad de Praga. Posteriormente, en 1800 empezó sus estudios de Teología hasta convertirse en sacerdote.
    En 1804, Bolzano consigue el doctorado tras entregar una tesis en Geometría. En esta época, el Imperio Austriaco, un estado autoritario, estaba preocupado por la expansión del entusiasmo suscitado por la Revolución francesa. Para contrarrestar estos movimientos, el imperio, de acuerdo con la Iglesia Católica, llevó a cabo varias iniciativas. Entre ellas, instituir una cátedra de Filosofía de la Religión en cada Universidad que se erigiera como baluarte contra a libertad de pensamiento. Es por ello por lo que Bolzano consiguió una cátedra en Filosofía y Religión. Las enseñanzas de Bolzano, sin embargo, gozaba de fuertes ideales pacifistas y por una exigencia de justicia política. Además, Bolzano gozaba de prestigio y fama entre los profesores y los alumnos. Tras varias presiones del gobierno, Bolzano fue destituido de su cátedra en 1819, y tras manifestar su desacuerdo fue acusado de herejía y puesto en arresto domiciliario, prohibiéndosele publicar (a pesar de ello, Bolzano publicó varios trabajos al extrajero).
    Bolzano publicó un trabajo en 1817 en el que liberaba los conceptos de límite, convergencia y derivada de nociones geométricas, y para ello refinó y enriqueció el concepto de número. En este trabajo hay que recalcar la demostración del Teorema del Valor Intermedio con el concepto de la serie de Cauchy, concepto que aparece cuatro años después en un trabajo de Cauchy (Cauchy desconocía el trabajo de Bolzano).
    A pesar de que Bolzano demostró todo su trabajo, no se comprendió hasta después de su muerte.
    En la década de 1830 desarrolla en profundidad su filosofía. Para Bolzano, no tenemos ninguna certeza en cuanto a las verdades, o a las supuestas como tales, de la naturaleza o de las Matemáticas, y precisamente el papel de las ciencias es hallar una justificación de las verdades. Es así cómo Bolzano hace un intento de elaborar una teoría del conocimiento y de la ciencia completa partiendo de fundamentos lógicos para todas las ciencias a través de abstracciones. Entre 1830 y 1840 intentó reinterpretar todas las Matemáticas bajo bases lógicas, dejando un trabajo incompleto. Las teorías de Bolzano sobre el infinito matemático anticiparon las de Georg Cantor sobre conjuntos infinitos. También hay que señalar que Bolzano fue la primera persona en dar una prueba totalmente analítica del Teorema Fundamental del Álgebra, ya demostrado por Gauss.
    La mayor parte de los trabajos de Bolzano permaneció en forma de manuscrito, por lo que tuvo una circulación muy reducida y una escasa influencia en el desarrollo de la materia. Muchas de sus obras no se publicaron hasta 1862 e incluso después.

    Teorema de Bolzano:

    Sea \(f:[a,b]\to\mathbb R\) continua, si \(f(a)f(b)<0\), entonces \(\exists c\in(a,b)\) tal que \(f(c)=0\).

    \[x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

    \begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&i&0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}

    \begin{definicion} Un entero de Einsenstein es un número complejo de la forma \[z=a+b\omega \qquad\qquad \text{donde }a,b\in\mathbb Z\;\text{y } \omega=\dfrac{1}{2}\left(-1+i\sqrt 3\right)\] \end{definicion}

    Profesores conocidos:  Franz von Gerstner.