Bernard Bolzano

    Bolzano nació el 5 de octubre de 1781 en Praga (Reino de Bohemia), y falleció el 18 de diciembre de 1848, también en Praga. Bolzano fue un matemático, lógico, filósofo y teólogo que realizó importantes contribuciones a las Matemáticas. Se le conoce por el Teorema de Bolzano y por esbozar el Teorema de Bolzano-Weierstrass. En su filosofía, Bolzano criticó el idealismo de Hegel y Kant afirmando que los números, las ideas y las verdades existen de independientemente a las personas que los piensen.

    Biografía
    El padre de Bolzano fue un italiano que se mudó a Praga, donde se casó con Maria Maurer. Solo dos de los doce hijos que tuvo la pareja llegaron a la edad adulta.
    En 1796, Bolzano se inscribió en la Facultad de Filosofía de la Universidad de Praga. Posteriormente, en 1800 empezó sus estudios de Teología hasta convertirse en sacerdote.
    En 1804, Bolzano consigue el doctorado tras entregar una tesis en Geometría. En esta época, el Imperio Austriaco, un estado autoritario, estaba preocupado por la expansión del entusiasmo suscitado por la Revolución francesa. Para contrarrestar estos movimientos, el imperio, de acuerdo con la Iglesia Católica, llevó a cabo varias iniciativas. Entre ellas, instituir una cátedra de Filosofía de la Religión en cada Universidad que se erigiera como baluarte contra a libertad de pensamiento. Es por ello por lo que Bolzano consiguió una cátedra en Filosofía y Religión. Las enseñanzas de Bolzano, sin embargo, gozaba de fuertes ideales pacifistas y por una exigencia de justicia política. Además, Bolzano gozaba de prestigio y fama entre los profesores y los alumnos. Tras varias presiones del gobierno, Bolzano fue destituido de su cátedra en 1819, y tras manifestar su desacuerdo fue acusado de herejía y puesto en arresto domiciliario, prohibiéndosele publicar (a pesar de ello, Bolzano publicó varios trabajos al extrajero).
    Bolzano publicó un trabajo en 1817 en el que liberaba los conceptos de límite, convergencia y derivada de nociones geométricas, y para ello refinó y enriqueció el concepto de número. En este trabajo hay que recalcar la demostración del Teorema del Valor Intermedio con el concepto de la serie de Cauchy, concepto que aparece cuatro años después en un trabajo de Cauchy (Cauchy desconocía el trabajo de Bolzano).
    A pesar de que Bolzano demostró todo su trabajo, no se comprendió hasta después de su muerte.
    En la década de 1830 desarrolla en profundidad su filosofía. Para Bolzano, no tenemos ninguna certeza en cuanto a las verdades, o a las supuestas como tales, de la naturaleza o de las Matemáticas, y precisamente el papel de las ciencias es hallar una justificación de las verdades. Es así cómo Bolzano hace un intento de elaborar una teoría del conocimiento y de la ciencia completa partiendo de fundamentos lógicos para todas las ciencias a través de abstracciones. Entre 1830 y 1840 intentó reinterpretar todas las Matemáticas bajo bases lógicas, dejando un trabajo incompleto. Las teorías de Bolzano sobre el infinito matemático anticiparon las de Georg Cantor sobre conjuntos infinitos. También hay que señalar que Bolzano fue la primera persona en dar una prueba totalmente analítica del Teorema Fundamental del Álgebra, ya demostrado por Gauss.
    La mayor parte de los trabajos de Bolzano permaneció en forma de manuscrito, por lo que tuvo una circulación muy reducida y una escasa influencia en el desarrollo de la materia. Muchas de sus obras no se publicaron hasta 1862 e incluso después.

    Teorema de Bolzano:

    Sea \(f:[a,b]\to\mathbb R\) continua, si \(f(a)f(b)<0\), entonces \(\exists c\in(a,b)\) tal que \(f(c)=0\).

    \[x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

    \begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&i&0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}

    \begin{definicion} Un entero de Einsenstein es un número complejo de la forma \[z=a+b\omega \qquad\qquad \text{donde }a,b\in\mathbb Z\;\text{y } \omega=\dfrac{1}{2}\left(-1+i\sqrt 3\right)\] \end{definicion}

    Profesores conocidos:  Franz von Gerstner.

Georg Cantor

    Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor nació en San Petersburgo, el 3 de marzo de 1845, y falleció en Halle el 6 de enero de 1918 por un ataque cardiaco. Fue un matemático y lógico nacido en Rusia. Inventó junto con Dedekind y Frege la teoría de conjuntos, que es la base de las matemáticas modernas. Gracias a sus atrevidas investigaciones sobre los conjuntos infinitos fue el primero capaz de formalizar la noción de infinito bajo la forma de los números transfinitos. Vivió aquejado por episodios de depresión, atribuidos originalmente a las críticas recibidas y a sus fallidos intentos de demostración de la hipótesis del continuo, aunque actualmente se cree que poseía algún tipo de depresión ciclo-maníaca.
 
    Biografía:
    Era hijo de un comerciante, quien, a causa de una enfermedad pulmonar en 1856, tuvo que trasladarlos a él y a su familia a Fráncfort del Meno, Alemania. La educación primaria de Georg Cantor fue confiada a un profesor particular, pasando a la escuela elemental de San Pestersburgo. Desde que la familia se mudó a Alemania, Cantor estuvo asistiendo a escuelas privadas hasta que a los 15 años ingresó en el Instituto de Wiesbaden.
    Inició sus estudios universitarios en 1862 en Zúrich, pero al año siguiente pasó a la Universidad de Berlín, donde se especializó en Matemáticas, Filosofía y Física y tuvo como profesores a Ernst Kummer, Karl Weierstrass y a Leopold Kronecker.
    En 1872, a los 27 años, se convirtió en catedrático en la Universidad de Halle, dando inicio a sus principales investigaciones. Sus primeros trabajos con las series de Joseph Fourier le llevaron al desarrollo de una teoría de números irracionales y en 1874 apareció su primer trabajo sobre la Teoría de Conjuntos.
    En cuanto a su estudio de los conjuntos infinitos, que fue considerado por su maestro Kronecker como una locura matemática, Cantor descubrió que estos no tienen siempre el mismo tamaño, o sea, el mismo cardinal. Este hecho supuso todo un desafío para un espíritu tan religioso como el de Georg Cantor y las acusaciones de blasfemia por parte de ciertos colegas envidiosos o que no entendían sus descubrimientos no le ayudaron.
    Cantor sufrió depresión y fue internado repetidas veces en hospitales psiquiátricos. Su mente luchaba contra varias paradojas de la teoría de conjuntos que parecían invalidar todo su trabajo. Además, trató de probar durante muchos años la hipótesis del continuo, la que, a día de hoy, se sabe que es imposible y que tiene que ser aceptada como axioma adicional de la teoría. El constructivismo negará este axioma, entre otras cosas, desarrollando toda una teoría matemática alternativa a la matemática moderna.
    Cantor empezó también a equiparar el concepto de infinito absoluto con Dios.
    Sistematizó el conjunto ℝ y usó el concepto de conjunto abierto. Fue un impulsor de la investigación en Rusia, en la línea de Euler. Es el autor del “Principio de los Intervalos Encajados”, y creador de ciertos conjuntos en topología y en teoría de la medida.

    Profesores conocidos: Ernst Kummer y Karl Theodor Wilhelm Weierstraß.

Eratóstenes

     Eratóstenes de Cirene nació en 276 a. C. en Cirene, Libia, y falleció entre 194 y 196 a. C. en Alejandría, Egipto. Eratóstenes fue un matemático, astrónomo y geógrafo griego. Fue la primera persona en considerar la geografía como una disciplina sistemática.

     Biografía

     Eratóstenes nació en 276 a. C. en Cirene. Estudió en Alejandría y después viajó a Atenas, también con motivos académicos.

     Fue gran amigo de Arquímedes y alumno de Aristón de Quíos, de Lisanias de Cirene y el poeta Calímaco. Estudió bajo el pensamiento de la Academia de Platón y se interesó especialmente en la figura de Platón.

     En 236 a.C, Ptolomeo III le propuso responsabilizarse de la Biblioteca de Alejandría. Eratóstenes aceptó y ocupó este cargo hasta el final de su vida. Como responsable de la biblioteca, Eratóstenes fue el profesor del hijo de Ptolomeo, Ptolomeo IV. También amplió la biblioteca y compitió contra la reputación de la Biblioteca de Pérgamo.

     Se dice que cuando quedó ciego a los 80 años se dejó morir de hambre pero no se sabe con certeza.

     Se le conoce como el segundo Platón. Sus enemigos lo llamaban el “Beta” porque, según ellos, era el segundo mejor en todo. Sin embargo, sus amigos lo conocían como el “Alfa” porque lo consideraban el primero en casi todo. También es conocido como “Pentatleta” por su conocimiento en tantas especialidades.

     Trabajo

     Eratóstenes es principalmente conocido por determinar el radio de la Tierra con una sencilla estrategia geométrica y conocimientos trigonométricos básicos. Sin embargo, estos cálculos eran solo aproximados debido a que Eratóstenes consideró que la Tierra era una esfera, supuso que Siena y Alejandría se encontraban sobre un mismo meridiano entre otros datos equivocados que también consideró. A esto hay que añadir que tomó una distancia equivocada entre Alejandría y Siena. Por estos motivos, el radio que calculó Eratóstenes es ligeramente inferior a la medida real.

     Posidono volvió a realizar el cálculo de Eratóstenes, obteniendo un resultado similar pero ligeramente menor (es decir, con un error mayor respecto al real). Se piensa que fue este el valor que tomó Cristóbal Colón para justificar la viabilidad del viaje a las Indias, ya que según el resultado de Eratóstenes era imposible realizar la travesía con las tecnología del siglo XV.

     Le debemos la Criba de Eratóstenes, un algoritmo usado para obtener todos los números primos menores que un número dado. Su versión informática se ha convertido en un método estándar.

Eratóstenes también midió la oblicuidad de la eclíptica (la inclinación del eje terrestre) con un error mínimo e inventó la Esfera Armilar.

     Trazó un mapa del Nilo hasta Khartum, mostrando sus dos afluentes etíopes y dando la primera explicación satisfactoria sobre las crecidas del Nilo; también diseñó un calendario intercalando cada cuatro años un día adicional dando pie a los años bisiestos.

     Eratóstenes escribió sobre temas como la crítica literaria, la gramática, la poesía e incluso sobre comedias antiguas. Escribió varios tratados de filosofía moral; en uno de sus trabajos contempla la filosofía de Platón desde una perspectiva matemática.

     Eratóstenes también inventó el mesolabio, una especie de calculadora antigua.

Michel Rolle

     Michel Rolle nació el 21 de abril de 1652, en Ambert, Bass-Auvergne (Francia) y falleció el 8 de noviembre de 1719 en París, Francia. Rolle es conocido por el Teorema de Rolle y por ser co-inventor del método de Eliminación de Gauss.

     Bibliografía

     Rolle nació en Ambert. Era hijo de un comerciante y recibió una educación básica. Se casó muy temprano y tuvo que luchar para mantener a su familia con el escaso salario de un transcriptor. A pesar de sus problemas financieros y su escasa formación académica, estudió álgebra y análisis diofántico de forma autodidacta.

     En 1675 se mudó a París.

     La fortuna de Rolle cambió radicalmente cuando publicó en 1682 una solución elegante de un difícil problema del análisis diofántico. Debido al reconocimiento que adquirió con este logro, el ministro Louvois lo amparó, dándole trabajo como profesor de matemáticas elementales y, de forma casual, como administrativo en el ministerio de guerra.

     En 1685 entró en la Academia de Ciencias, partiendo de una posición bajísima; Rolle no recibió un salario regular hasta 1699. Este hecho le distinguió del resto de los miembros, pues solo 20 de los 70 miembros tenían un salario regular.

     Rolle resolvió uno de los problemas de Jacques Ozanam. Posteriormente comenzó a recibir una pensión por parte de Jean-Baptiste Colbert un ministro del rey de Francia de aquel momento.

Rolle falleció finalmente en París el 8 de Noviembre de 1719.

     Entre sus varios logros, Rolle ayudó a avanzar en el orden de tamaño aceptado para los números negativos en su época. Por ejemplo, Descartes había considerado el “-2” como un número menor que el “-5”; Rolle precedió a la mayoría de sus contemporáneos al adoptar la convención actual en 1691.

También cabe destacar que Rolle fue uno de los primeros críticos del cálculo infinitesimal, afirmando inicialmente que era inexacto y se basaba en razonamientos erróneos; sin embargo, cambió de opinión posteriormente

     En 1690, Rolle publicó “Traité d´Algebre”, que contiene la primera descripción publicada en Europa del algoritmo de eliminación gaussiano, al que Rolle nombró como el Método de Sustitución. Isaac Newton describe previamente el método en sus apuntes, pero no los publicó hasta 17 años después (en 1707); A pesar de este hecho, en los siglos XVIII y XIX se consideró que Newton fue el único inventor de dicho método.

     Rolle es conocido por el Teorema de Rolle, que usó en 1690 y demostró en 1691. Este Teorema es de vital importancia en el cálculo diferencial, aunque no fue hasta el siglo XVIII que comenzó a tener un mayor peso.

     Como Rolle fue autodidacta no tiene profesores, y tampoco tiene ningún alumno conocido.

Fibonacci (Leonardo de Pisa)

    Leonardo de Pisa, conocido como Fibonacci, fue un matemático italiano del siglo XIII conocido por haber difundido en Europa el sistema de numeración de base decimal y también por introducir la sucesión de Fibonacci.

    Biografía
    Fibonacci nació sobre 1170. Era hijo de un comerciante conocido como Bonacci (bien intencionado). Fibonacci heredó su apodo, que significa hijo de Bonacci. Bonacci tenía un puesto diplomático en Bugía, en el norte de África (hoy Bejaia, Argelia). Su trabajo consistía en representar a los comerciantes de Pisa que operaban en Bugía. Fibonacci viajaba allí con su padre y tuvo la oportunidad de aprender el sistema de numeración árabe-hindú, reconociendo sus enormes ventajas.
    Interesado por el sistema de numeración árabe-hindú, Fibonacci viajó por los países del Mediterráneo para estudiar con los matemáticos árabes más destacados de aquel momento.
    En 1202 publicó Liber Abaci donde mostraba la importancia del nuevo sistema de numeración árabe-hindú aplicándolo a la contabilidad y a otras aplicaciones sociales. También describe el cero, los criterios de divisibilidad… En esta época todavía no se había inventado la imprenta por los que sus libros fueron manuscritos y la única forma de conseguir una copia era hacer otra copia manuscrita. Afortunadamente tenemos la mayor parte de su obra, sin embargo se perdió su comentario sobre el Libro X de los elementos de Euclides que contenía un tratamiento numérico de los números irracionales a los que Euclides trata desde una visión geométrica.
    El emperador del Sacro Imperio Romano Germánico Federico II era un hombre muy interesado por las matemáticas y por las ciencias. Federico tuvo constancia de la obra de Fibonacci gracias a los eruditos de su corte y finalmente invitó a Fibonacci a reunirse con él.
    En 1225 publicó Liber Quadratorum debido a un reto matemático de Teodoro de Antioquía. El reto consistía en encontrar un cuadrado tal que si se le sumaba o restaba el número 5 diera como resultado en ambos casos números cuadrados. Anecdóticamente, 1225 (el año de su publicación) es un número cuadrado.
    En 1240, la República de Pisa condecoraba a Fibonacci (refiriéndose a él como Leonardo Bigollo), concediéndole un sueldo permanente por los servicios aportados a la ciudad como asesor en materias de contabilidad.
    Se desconoce la fecha del fallecimiento de Fibonacci, pero se estima que fue entre 1240 y 1250 en un lugar cercano a Pisa.