\(\mathcal T\)eorema de Frege

 En lógica proposicional, el teorema de Frese se refiere a la siguiente tautología:

$${\displaystyle (P\to (Q\to R))\to ((P\to Q)\to (P\to R))}$$

\(\mathbb G\)ottlob \(\mathbb F\)rege

Gottlob Frege

Gottlob Frege fue un matemático alemán conocido por ser uno de los fundadores de la lógica simbólica moderna, al proponer la idea de que las matemáticas pueden reducirse a la lógica.

Orígenes y situación histórica

Frege nació el 8 de noviembre de 1848 en Wismar, una ciudad situada en el norte de Alemania a orillas de una entrada del mar Báltico (asociada históricamente a la región de Pomerania). Sus padres fueron Karl Alexander Frege (1809–1866) y Auguste Bialloblotzky (f. 1878). Alexander Frege era un teólogo de cierto renombre que ejercía como director de una escuela secundaria para niñas en Wismar, centro que dirigía junto a su esposa. Se cree que la madre de Gottlob provenía de una familia no originaria de esa zona, sino probablemente de origen polaco. En la época en que nació Gottlob, Wismar estaba administrada por el estado de Mecklemburgo-Schwerin desde 1803, aunque Suecia aún la reclamaba, habiéndola controlado desde la Paz de Westfalia en 1648 hasta 1803.

Frege creció en Wismar y asistió al Gymnasium local, donde tuvo como profesor a Leo Sachse, quien ejerció una gran influencia sobre el joven estudiante. Fue siguiendo el consejo de Sachse como Frege decidió más adelante continuar sus estudios superiores. En el plano político e ideológico, Frege se sentía orgulloso de vivir en el estado de Mecklemburgo, amaba la casa ducal de Mecklemburgo y creía firmemente en esta forma de gobierno por encima de una elegida democráticamente. La juventud de
Frege coincidió con un periodo de profundos cambios geopolíticos en Europa: 

• En 1862, el nombramiento de Otto von Bismarck como primer ministro de Prusia puso en marcha la unificación de los estados alemanes (como Mecklemburgo) bajo el liderazgo prusiano, a lo que Austria se oponía.

  

  Proclamación del Imperio alemán,
  de Anton von Werner, 1885

• En 1866 falleció Alexander Frege, el padre de Gottlob. Ese mismo año estalló la Guerra de las Siete Semanas, en la que Mecklemburgo se alineó con Prusia contra Austria.
• En 1867, la victoria prusiana condujo a la creación de la
  Confederación Alemana del Norte, con Mecklemburgo entre sus miembros.
• En 1870–1871, Prusia lideró a los estados alemanes en la Guerra Franco-Prusiana, culminando en 1871 con la fundación del Reich alemán (el Imperio alemán) bajo el emperador Guillermo I de Prusia.

Carrera universitaria

En el plano intelectual y universitario, Frege dejó el hogar a los veintiún años (en 1869) para ingresar en la Universidad de Jena. Allí estudió matemáticas durante dos años. Posteriormente, continuó su educación durante dos años más en la Universidad de Gotinga, donde obtuvo su doctorado en matemáticas en diciembre de 1873 con una tesis sobre geometría supervisada por Ernst Schering. Aunque las matemáticas eran su especialidad principal, cursó también asignaturas de física, química y filosofía. Durante su etapa formativa asistió al curso de Kuno Fischer sobre la filosofía crítica de Kant en Jena, y al curso de Hermann Lotze sobre filosofía de la religión en Gotinga. La influencia de Kant resultaría evidente a lo largo de toda la obra de Frege, mientras que la de Lotze sobre la lógica fue tangible, aunque de carácter circunstancial.

Ernst Abbe

Tras completar su Habilitationsschrift sobre la teoría de los números complejos, Frege regresó a Jena en mayo de 1874 para ocupar el puesto no remunerado de profesor Privatdozent. El puesto fue asegurado para él por el matemático Ernst Abbe, su ángel de la guarda en Jena desde el momento en que llegó como estudiante hasta su cátedra honoraria final. Abbe controlaba la Fundación Carl Zeiss, la cual recibía casi la mitad de todos los beneficios de la fábrica de lentes y cámaras Zeiss (que Abbe había ayudado a fundar a la familia Zeiss), permitiendo que Frege recibiera un estipendio que hizo posible su labor docente.

Enseñó matemáticas en Jena durante el resto de su carrera, desempeñando su trabajo discretamente y con un contacto mínimo con sus estudiantes y colegas. Sin embargo, Rudolf Eucken fue colega de Frege durante más de 40 años en la facultad de filosofía y mantuvo con él estrechos contactos científicos. Antes de que Frege publicara cualquiera de sus obras principales, su madre falleció en 1878.

La revolución lógica: Begriffsschrift

Frege fue uno de los fundadores de la lógica simbólica moderna y defendió la idea de que las matemáticas se pueden reducir a la lógica. Impartió clases sobre todas las ramas de las matemáticas, en particular geometría analítica, cálculo, ecuaciones diferenciales y mecánica, aunque sus publicaciones matemáticas fuera del campo de la lógica son escasas. Sus escritos sobre filosofía de la lógica, filosofía de las matemáticas y filosofía del lenguaje son de capital importancia, reflejados en su célebre afirmación:

Todo buen matemático es al menos medio filósofo, y todo buen filósofo es al menos medio matemático.

 En 1879, cinco años después de regresar a Jena, publicó su primera obra importante: Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens (Conceptografía, un lenguaje formal del pensamiento puro modelado según el de la aritmética). Tal vez sea la mayor contribución individual a la lógica jamás realizada y fue, en cualquier caso, el avance más importante desde Aristóteles.

En esta obra, Frege presentó por primera vez lo que hoy reconoceríamos como un sistema lógico con negación, implicación y cuantificación universal (esencialmente anticipando la idea de las tablas de verdad).

Ernst Schröder

La publicación vino seguida ese mismo año por su promoción a Profesor Extraordinario, nuevamente con el apoyo de Abbe. Sin embargo, la obra no fue bien recibida. Por un lado, la notación era extraordinariamente engorrosa y difícil de penetrar; por otro, Frege omitió mencionar o contrastar su sistema con los avanzados trabajos de George Boole y Ernst Schröder. En su reseña, Schröder ridiculizó el simbolismo idiosincrásico comparándolo con ideas del japonés y desestimando su valor frente a Boole, evidenciando que ni él ni la mayoría de sus contemporáneos habían comprendido el alcance de la obra. A pesar de todo, la Begriffsschrift recibió seis reseñas, de las cuales la mitad eran algo más favorables a pesar de las críticas.

El propio Frege contribuyó a la incomprensión al no distinguir la especificidad de su notación de la sintaxis y semántica lógicas subyacentes. Lo que había creado era un lenguaje formal en el que axiomatizó la lógica cuantificacional de orden superior, derivó teoremas de lógica proposicional, de primer y segundo orden, y definió la relación ancestral, constituyendo un hito indiscutible en la historia del pensamiento moderno

De los fundamentos aritméticos al proyecto de las Grundgesetze

Pronto Frege se desvinculó de la defensa de su notación para retomar el proyecto creativo enunciado en la misma obra:

«Dividimos todas las verdades que requieren justificación en dos tipos: aquellas cuya demostración puede darse de manera puramente lógica y aquellas cuya demostración debe fundamentarse en hechos empíricos. ... Ahora bien, al considerar la cuestión de a cuál de estos dos tipos pertenecen los juicios aritméticos, primero tuve que ver hasta dónde se podía llegar en aritmética únicamente mediante inferencias, apoyado solo por las leyes del pensamiento que trascienden todos los particulares. El camino que tomé fue buscar primero reducir el concepto de ordenación en una serie al de consecuencia lógica, para avanzar luego hacia el concepto de número... (Frege 1879: 48)».

Tras codificar la noción de demostración y consecuencia lógica, Frege investigó el concepto de número cardinal y publicó su estrategia filosófica en 1884: Die Grundlagen der Arithmetik (Los fundamentos de la aritmética). A diferencia de la Begriffsschrift, esta obra carece prácticamente de simbolismo formal y se enfrenta de forma directa a las corrientes empiristas y naturalistas contemporáneas. Frege refutó la metodología de buscar fundamentos basándose en referentes materiales, psicológicos o intuiciones kantianas, codificando su célebre Principio de Contexto (nunca buscar el significado de una palabra de forma aislada, sino en el contexto de una proposición). Los números, conjuntos y valores de verdad pasaron a ser considerados objetos lógicos. También publicó el teorema de Frege, el cual demostraría formalmente una década después. 

Aunque los Grundlagen se consideran hoy una obra maestra escrita en su apogeo creativo, en su momento apenas recibieron atención, destacando únicamente una reseña notablemente hostil y carente de comprensión por parte de Georg Cantor. Además, Frege fue ignorado por Richad Dedekind, criticado por Cantor y descartado por David Hilbert, mientras que su interacción con Husserl —cuyo psicologismo temprano demolió en una reseña de 1894— provocó una enemistad duradera. La formación filosófica de Frege, apoyada en lecturas puntuales y antologías (como la de Baumann de 1868) y marcada por una focalización extrema, acentuó su aislamiento intelectual.

En este periodo de tiempo, Frege contrajo matrimonio con Margarete Lieseberg (1856 - 1904). La ceremonia se celebró en 1887.