\(\mathcal C\)uadratura gaussiana

Las fórmulas de cuadratura de Newton-Cotes (tales como la regla del trapecio o la regla de Simpson), aproximan la integral de una función utilizando nodos equispaciados. Fijar la posición de los nodos impone una restricción geométrica: una fórmula de Newton-Cotes con $n$ nodos puede garantizar, a lo sumo, un grado de precisión algebraica de $n-1$ (o $n$ si $n$ es par).

El enfoque de la Cuadratura gaussiana, introducido originalmente por Carl Friedrich Gauss en 1814, elimina la restricción de la equidistancia. Al tratar tanto a los nodos como a los pesos como variables libres a optimizar, es posible duplicar el grado de precisión de la aproximación. Este método constituye uno de los pilares del análisis numérico moderno y de la resolución por elementos finitos.

Formalización del problema

Consideremos el problema de aproximar la integral definida de una función continua $f(x)$ en un intervalo $[a, b]$ respecto a una función de peso $w(x)$ no negativa y medible:

$$I(f) = \int_{a}^{b} f(x) w(x) \, dx$$

Deseamos construir una regla de aproximación lineal (fórmula de cuadratura) $I_n(f)$ mediante la suma ponderada de $n$ evaluaciones puntuales:

$$I_n(f) = \sum_{i=1}^{n} w_i f(x_i)$$

Donde los elementos determinantes son:

• $\{x_i\}_{i=1}^n \subset [a, b]$ se denominan nodos de la cuadratura.
• $\{w_i\}_{i=1}^n \subset \mathbb{R}$ se denominan pesos o coeficientes de la cuadratura.

Definición Definición (Grado de Precisión): Se dice que una fórmula de cuadratura tiene un grado de precisión (o exactitud) igual a $m$ si la aproximación es exacta para todo polinomio de grado menor o igual a $m$ ($P \in \mathbb{P}_m$), y no es exacta para al menos un polinomio de grado $m+1$.

Dado que disponemos de $2n$ grados de libertad ($n$ nodos y $n$ pesos), el álgebra elemental sugiere que deberíamos ser capaces de satisfacer un sistema de $2n$ ecuaciones no lineales para integrar exactamente las potencias $x^0, x^1, \dots, x^{2n-1}$. El siguiente teorema formaliza esta cota superior óptima y proporciona el mecanismo para hallar los nodos a través de la teoría de polinomios ortogonales.

Teorema de la cuadratura gaussiana

Sea $w(x)$ una función de peso en $[a, b]$ y sea $\{q_n(x)\}_{n=0}^{\infty}$ la sucesión de polinomios mónicos ortogonales en $[a, b]$ respecto al producto escalar:

$$\langle g, h \rangle = \int_{a}^{b} g(x) h(x) w(x) \, dx$$

Una fórmula de cuadratura con $n$ nodos tiene un grado de precisión de exactamente $2n-1$ si y solo si:

1. Los nodos $x_1, x_2, \dots, x_n$ son las $n$ raíces distintas del polinomio ortogonal $q_n(x)$.
2. Los pesos $w_i$ vienen dados por la fórmula interpolatoria. $$w_i = \int_{a}^{b} L_i(x) w(x) \, dx = \int_{a}^{b} \prod_{j \neq i} \left( \frac{x - x_j}{x_i - x_j} \right) w(x) \, dx$$

Cuadratura de Gauss-Legendre

El escenario más habitual en las aplicaciones de ingeniería y física ocurre cuando el intervalo es acotado simétricamente, $[a, b] = [-1, 1]$, y la función de peso es trivial, $w(x) = 1$. Los polinomios ortogonales asociados a este producto escalar son los Polinomios de Legendre, definidos mediante la fórmula de Rodrigues:

$$P_n(x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n}(x^2 - 1)^n$$