\(\mathcal C\)urvatura gaussiana

En el estudio de las curvas locales en $\mathbb{R}^3$, la curvatura de Frenet mide unívocamente la desviación de la curva respecto a una línea recta. Al hacer la transición a superficies regulares, la noción de curvatura se vuelve intrínsecamente más compleja: si nos situamos en un punto $p$ de una superficie $S$, la manera en que esta se "dobla" varía dependiendo de la dirección tangente que tomemos.

Para formalizar esta variación direccional, la geometría diferencial introduce el Operador de Forma (o aplicación de Weingarten), el cual se deriva directamente de la diferencial de la aplicación de Gauss. A partir de los invariantes algebraicos de este operador lineal, emerge la medida de curvatura más profunda de la geometría bidimensional: la Curvatura Gaussiana.

Formalización algebraica
Sea $S \subset \mathbb{R}^3$ una superficie regular y orientable, y sea $N: S \to S^2$ la aplicación de Gauss, la cual asigna a cada punto $p \in S$ un vector unitario normal $N(p)$ en la esfera unidad.
La diferencial de esta aplicación en un punto $p$, denotada como $dN_p: T_pS \to T_p(S^2) \cong T_pS$, es un operador lineal y autoadjunto (simétrico respecto al primer producto fundamental). Por el teorema espectral, un operador autoadjunto en un espacio de dimensión 2 posee dos valores propios reales, $\kappa_1$ y $\kappa_2$, denominados curvaturas principales, y sus correspondientes vectores propios ortogonales son las direcciones principales.

Definición (Curvatura Gaussiana): Se define la Curvatura Gaussiana $K$ de una superficie regular $S$ en un punto $p \in S$ como el determinante de la aplicación diferencial de Gauss en dicho punto. Equivalentemente, $K$ es el producto de las dos curvaturas principales:
$$K(p) = \det(dN_p) = \kappa_1 \cdot \kappa_2$$

Clasificación geométrica de los puntos de una superficie
El signo de la curvatura gaussiana $K(p)$ determina de manera unívoca la topología local de la superficie en un entorno del punto $p$, caracterizando cómo se sitúa la superficie respecto a su plano tangente $T_pS$:

• Puntos Elípticos ($K > 0$): Las curvaturas principales $\kappa_1$ y $\kappa_2$ tienen el mismo signo. Localmente, la superficie es conoide y se sitúa completamente a un solo lado del plano tangente. Un ejemplo arquetípico es cualquier punto de un elipsoide o una esfera.

• Puntos Hiperbólicos ($K < 0$): Las curvaturas principales tienen signos opuestos. El entorno del punto adopta la estructura geométrica de una "silla de montar" (paraboloide hiperbólico). El plano tangente interseca a la superficie en curvas localmente transversales.

• Puntos Parabólicos ($K = 0$ con $dN_p \neq 0$): Una de las curvaturas principales es nula y la otra es distinta de cero. El plano tangente toca a la superficie a lo largo de una línea recta local. Es la geometría característica de los cilindros y conos.

• Puntos Planos ($K = 0$ con $dN_p = 0$): Ambas curvaturas principales se anulan simultáneamente (por ejemplo, cualquier punto en un plano euclídeo).

Resultado cumbre
Por definición, la curvatura gaussiana parece ser un concepto puramente extrínseco, ya que su construcción matemática depende explícitamente del vector normal $N$, es decir, de cómo está sumergida (o embebida) la superficie dentro del espacio tridimensional $\mathbb{R}^3$.
Sin embargo, en 1827, Carl Friedrich Gauss descubrió un hecho revolucionario que transformaría los cimientos de la geometría diferencial y daría origen a la geometría riemanniana moderna.

Theorema Egregium de Gauss La curvatura gaussiana $K$ de una superficie regular es un invariante intrínseco. Esto significa que $K$ depende única y exclusivamente de la primera forma fundamental de la superficie (su métrica) y de sus derivadas de primer y segundo orden, siendo totalmente independiente del modo en que la superficie se configure en el espacio ambiente.