\(\mathcal T\)eorema de la divergencia

El Teorema Fundamental del Cálculo establece un puente analítico entre la integral de la derivada de una función sobre un dominio unidimensional y los valores de dicha función en la frontera (los extremos del intervalo):

$$\int_a^b f'(x) \, dx = f(b) - f(a)$$

El Teorema de la Divergencia (también conocido históricamente como Teorema de Gauss o Teorema de Ostrogradsky) constituye la generalización natural de este principio a regiones compactas de dimensión superior en $\mathbb{R}^n$. El teorema establece que la acumulación total de las "fuentes" o "sumideros" de un campo vectorial dentro de un volumen es idéntica al flujo neto de dicho campo a través de la superficie que acota ese volumen.

Antes de enunciar el resultado central, es axiomático formalizar el operador diferencial de segundo orden que mide la tasa de expansión local de un campo.

Definición (Divergencia de un campo vectorial): Sea $U \subset \mathbb{R}^3$ un conjunto abierto y sea $F: U \to \mathbb{R}^3$ un campo vectorial diferenciable de clase $C^1$, cuyas componentes cartesianas son $F = (P, Q, R)$. Se define la divergencia de $F$, denotada indistintamente como $\text{div}(F)$ o $\nabla \cdot F$, como la función escalar:

$$\text{div}(F) = \nabla \cdot F = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$$

Teorema de la divergencia Sea $V \subset \mathbb{R}^3$ un dominio compacto y regular (una región acotada cuya frontera $\partial V$ es una superficie cerrada orientable y suave a trozos). Sea $F: U \to \mathbb{R}^3$ un campo vectorial de clase $C^1$ definido en un entorno abierto $U \subset \mathbb{R}^3$ tal que $V \cup \partial V \subset U$.

Entonces, la integral de volumen de la divergencia de $F$ sobre la región $V$ es igual al flujo de la frontera orientado hacia el exterior de $V$:

$$\iiint_V (\nabla \cdot F) \, dV = \iint_{\partial V} (F \cdot \mathbf{n}) \, dS$$

Donde $\mathbf{n}$ denota el campo de vectores unitarios normales a la superficie $\partial V$, orientados en sentido exterior (normal saliente).