\(\mathcal D\)istribución normal

La distribución normal, también conocida como distribución gaussiana, es, sin duda, la distribución de probabilidad más importante en el cálculo de probabilidades y la estadística matemática. Emana de manera natural a través de teoremas límite fundamentales, principalmente el Teorema del Límite Central, el cual establece que la suma de un gran número de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas (u.i.i.d.) tiende asintóticamente a una distribución normal, independientemente de la distribución original de dichas variables.

Descubierta inicialmente por Abraham de Moivre en 1733 como el límite de una distribución binomial, fue redescubierta e introducida formalmente por Carl Friedrich Gauss en 1809 en el contexto de la teoría de errores de observación en astronomía.

Definición (Distribución Normal): Se dice que una variable aleatoria continua $X$ definida en un espacio de probabilidad $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ sigue una distribución normal con parámetros de localización $\mu \in \mathbb{R}$ y de escala $\sigma \in \mathbb{R}^+$ (denotado como $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$) si su función de densidad de probabilidad (fdp) viene dada por:

$$f(x; \mu, \sigma) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \exp\left( -\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2 \right), \quad \forall x \in \mathbb{R}$$

Propiedades geométricas

La función de densidad de una variable gaussiana presenta una geometría altamente regular (la conocida "campana de Gauss"):

1. Simetría: La función es estrictamente simétrica respecto a su parámetro de localización $x = \mu$, dado que $f(\mu - x) = f(\mu + x)$.
2. Extremo Relativo: Presenta un único máximo global en el punto $x = \mu$, donde el valor de la densidad es exactamente $\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}$.
3. Puntos de Inflexión: El cálculo de la segunda derivada $f''(x)$ revela que la curvatura de la función cambia de signo (cóncava a convexa) exactamente en los puntos $x = \mu - \sigma$ y $x = \mu + \sigma$.
4. Comportamiento Asintótico: El eje horizontal ($y = 0$) es una asíntota horizontal bilateral. La velocidad de decrecimiento hacia cero cuando $|x| \to \infty$ es de orden exponencial cuadrático.

Teorema Si $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$, entonces su función característica viene dada por:

$$\varphi_X(t) = \exp\left( it\mu - \frac{1}{2}\sigma^2 t^2 \right), \quad \forall t \in \mathbb{R}$$

Además, $\mathbb{E}[X] = \mu$ y $\text{Var}(X) = \mathbb{E}[X^2] - (\mathbb{E}[X])^2 = \sigma^2$.

TeoremaSea $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$. Se define la transformación lineal (tipificación):

$$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$

Entonces, la variable aleatoria transformada $Z$ sigue una distribución normal estándar, es decir, $Z \sim \mathcal{N}(0, 1)$.