\(\mathcal T\)eorema de Gauss-Wantzel

Uno de los problemas más antiguos y fascinantes de la geometría euclidiana es la construcción de polígonos regulares utilizando únicamente una regla (sin graduar) y un compás. Los griegos de la antigüedad clásica dominaban la construcción del triángulo equilátero, el cuadrado, el pentágono regular y el pentadecágono ($15$ lados), así como cualquier polígono obtenido mediante la bisección sucesiva de los lados de estos.

Sin embargo, durante más de dos milenios, el progreso se detuvo. No fue sino hasta el desarrollo del álgebra abstracta y la teoría de cuerpos que este problema geométrico recibió una respuesta definitiva. La resolución completa combina la genialidad de Carl Friedrich Gauss (quien demostró la suficiencia en 1796 a la edad de 19 años) y Pierre Wantzel (quien demostró la necesidad en 1837).

Antes de enunciar el teorema central, es axiomático revisar una definición algebraica fundamental.

Definición (Primos de Fermat): Un número de Fermat es un entero positivo de la forma $F_k = 2^{2^k} + 1$, donde $k \in \mathbb{N}_0$. Si $F_k$ es un número primo, se le denomina primo de Fermat.

(Nota: Históricamente, solo se conocen cinco primos de Fermat: $F_0 = 3$, $F_1 = 5$, $F_2 = 17$, $F_3 = 257$ y $F_4 = 65537$).

Teorema de Gauss-Wantzel: Un polígono regular de $n$ lados ($n \ge 3$) es construible con regla y compás si y solo si $n$ es el producto de una potencia de 2 y un número finito de primos de Fermat distintos.

Formalmente, $n$ es de la forma:
$$n = 2^r \cdot p_1 \cdot p_2 \cdots p_s$$
donde $r \in \mathbb{N}_0$, $s \in \mathbb{N}_0$, y cada $p_i$ es un primo de Fermat distinto.

Corolario: Sea $\varphi:\mathbb N\to\mathbb N$ la función $\varphi$ de Euler. Un polígono regular de $n$ lados es construible si y solo si $\varphi(n)$ es una potencia de 2:
$$\varphi(n) = 2^m \quad \text{para algún } m \in \mathbb{N}_0$$