\(\mathcal L\)ey de Gauss

Al estudiar el campo magnético, denotado por el campo vectorial $\mathbf{B}$, la estructura geométrica de las líneas de campo exhibe un comportamiento cualitativamente distinto. Experimentalmente se observa que, al fragmentar un imán por la mitad, no se obtienen un polo norte y un polo sur aislados, sino dos imanes nuevos, cada uno con su propio par de polos.

La Ley de Gauss para el Magnetismo es la formalización matemática de esta propiedad empírica: la inexistencia de monopolos magnéticos aislados en la naturaleza. Desde la perspectiva de la teoría de campos, esto implica que las líneas de campo magnético son cerradas; no tienen un punto de origen ni un punto de término.


Formalización
Para enunciar esta ley con el rigor propio del análisis matemático, presentaremos el resultado en sus dos variantes clásicas: su forma integral (macroscópica) y su forma diferencial (local).

Definición (Flujo Magnético): Sea $S \subset \mathbb{R}^3$ una superficie orientable y regular, y sea $\mathbf{B}: U \to \mathbb{R}^3$ un campo vectorial continuo definido en un abierto que contiene a $S$. Se define el flujo magnético $\Phi_B$ a través de la superficie $S$ como la integral de superficie de segunda especie:
$$\Phi_B = \iint_{S} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A} = \iint_{S} (\mathbf{B} \cdot \mathbf{n}) \, dS$$
Donde $\mathbf{n}$ es el vector unitario normal a la superficie en cada punto, determinado por la orientación elegida para $S$.


Ley de Gauss Sea $\mathbf{B}: U \subset \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ el campo magnético, asumido como un campo vectorial de clase $C^1$ en un dominio abierto $U$.

• Forma Diferencial: En todo punto del abierto $U$, la divergencia del campo magnético es cero: $$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$$

Un campo vectorial que satisface esta propiedad en todo su dominio se denomina campo solenoidal.