\(\mathcal T\)eorema fundamental del álgebra

Uno de los objetivos primordiales del álgebra abstracta desde sus orígenes ha sido la resolución de ecuaciones polinómicas. Como se estudió en los capítulos previos, cuerpos elementales como los números racionales ($\mathbb{Q}$) o los números reales ($\mathbb{R}$) presentan una limitación estructural severa: existen polinomios no constantes con coeficientes en dichos cuerpos que no poseen ninguna raíz dentro de ellos (por ejemplo, $x^2 + 1 \in \mathbb{R}[x]$).

Esta deficiencia matemática motivó la búsqueda de la clausura algebraica de un cuerpo, es decir, un supercuerpo donde todo polinomio no constante logre descomponerse por completo. El Teorema Fundamental del Álgebra (TFA) establece formalmente que el cuerpo de los números complejos ($\mathbb{C}$) es, de hecho, un cuerpo algebraicamente cerrado.

A pesar de su nombre histórico, el teorema no posee una demostración puramente algebraica. Debido a que la construcción de los números reales (y por ende de los complejos) se fundamenta en conceptos topológicos de completitud (como las cortaduras de Dedekind o las sucesiones de Cauchy), cualquier demostración del TFA requiere inevitablemente el uso de herramientas del análisis complejo, la topología o la geometría diferencial.

Teorema fundamental del álgebra Sea $P(z) \in \mathbb{C}[z]$ un polinomio de grado $n \ge 1$ con coeficientes complejos, de la forma:

$$P(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \dots + a_1 z + a_0$$

donde $a_n \neq 0$. Entonces, existe al menos un número complejo $z_0 \in \mathbb{C}$ tal que $P(z_0) = 0$.

Corolario Todo polinomio $P(z) \in \mathbb{C}[z]$ de grado $n \ge 1$ se factoriza de forma única (salvo el orden de los factores) en exactamente $n$ factores lineales sobre $\mathbb{C}$. Es decir:

$$P(z) = a_n (z - z_1)(z - z_2) \cdots (z - z_n)$$

donde $z_1, z_2, \dots, z_n \in \mathbb{C}$ son las raíces del polinomio, no necesariamente distintas (contadas con su respectiva multiplicidad).